1. Persamaan Linear Satu Variabel
1)
2x + 5 = 3
2)
1 – 2y = 6
3)
z + 1 = 2z
Variabel pada persamaan (1) adalah x,
pada persamaan (2) adalah y, dan pada persamaan (3) adalah z.
Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear satu
variable. karena masing-masing persamaan memiliki satu variabel dan berpangkat satu.
Variabel x, y, dan z adalah variabel pada himpunan
tertentu yang ditentukan dari masing-masing persamaan tersebut.
Persamaan yang memiliki satu variabel dan peubahnya berpangkat satu disebut persamaan linear
dengan satu variabel.
Persamaan linear satu variabel dapat
dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax + b = c dengan
a, b, dan c adalah konstanta, a
0, dan x variabel pada suatu himpunan.
2.
Persamaan Linear Dua Variabel
1)
x + 5 = y
2)
2a – b = 1
3)
3p + 9q = 4
Persamaan-persamaan
di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel. Variabel pada
persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada
persamaan 2a – b = 1 adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3p + 9q =
4 adalah p dan q. Persamaan yang memiliki dua variabel dan peubahnya berpangkat
satu disebut persamaan linear dua variabel.
Persamaan linear dua variabel dapat
dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b,
c ∈ R a, b ≠ 0, c adalah konstanta dan x, y suatu
variabel.
3.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
x + y = 5………………………………………………….
(1)
2x – y = 11 ………………………… …………………..(2)
Persamaan
(1) dan (2) merupakan persamaan linear dengan dua variabel yang saling terkait.
Beberapa persamaan yang saling terkait disebut sistem persamaan linear. Karena
kedua persamaan di atas saling terkait, memiliki dua variabel dan penyelesaian
yang sama (x=3 dan y=2) maka disebut sistem persamaan
linear dua variabel.
Sistem
persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk berikut
a1x +
b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a, b
0, x dan y suatu variabel,
a1 dan a2 adalah
koefisien dari variabel x, b1 dan b2 adalah koefisien dari
variabel y, dan c1,c2
adalah konstanta.
B. Penyelesaian atau Akar dan Bukan Akar Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel
Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdapat
pengganti-pengganti dari variabel sehingga kedua persamaan menjadi kalimat
benar. Pengganti –pengganti variabel yang demnikian disebut penyelesaian atau
akar dari sistem persamaan atau bukan akar dari sistem persamaan tersebut.
Contoh 1:
Diketahui sistem persamaan x + 2y = 10 dan 2x – y = 5.
Tunjukkan
bahwa x = 4 dan y = 3 merupakan akar atau penyelesaiannya!
Jawab:
Nilai x = 4 dan y = 3 disubstitusikkan pada persamaan x + 2y =10 dan 2x–y =5,
diperoleh :
x
+ 2y = 10 2x – y = 5
4 + 2(3) = 10 2(4) – 3 = 5
4 + 6 = 10 8 – 3 = 5
10 = 10 (benar) 5 = 5 (benar)
Karena selalu
diperoleh kalimat benar, maka x = 4 dan y = 3 merupakan akar atau penyelesaian dari persamaan x + 2y =10 dan 2x – y = 5.
Contoh 2:
Apakah x = 6 dan y = 2 merupakan penyelesaian
dari sistem persamaan x + 2y = 10 dan 2x –
y = 5
Nilai x = 6 dan y = 2 disubstitusikan pada persamaan x + 2y = 10 dan 2x –
y = 5, diperoleh:
x
+ 2y = 10 2x
– y = 5
6 + 2(2) = 10 2(6) – 2 = 5
6 + 4 = 10 12 – 2 = 5
10 = 10 (benar) 10 = 5 (salah)
Pada persamaan x + 2y = 10 dan 2x – y = 5, x = 6 dan y = 2 disubstitusikan pada kedua persamaan
tersebut, ternyata mengakibatkian salah satu persamaan menjadi kalimat yang
salah. Oleh karena itu, x=6 dan y=2 bukanlah penyelesaian atau akar dari
persamaan x + 2y = 10 dan 2x –
y = 5.
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Penyelesaian sistem persamaan linear
dua variabel dapat ditentukandengan mencari pasangan bilangan yang memenuhi
setiap persamaan linearnya dan bila pasangan bilangan itu disubstitusikan ke
persamaannya akan menghasilkan pernyataan yang benar.
Penyelesaian pada sistem persamaan
linear ax + by = c dan px + qy = r adalah menentukan pengganti
untuk x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh suatu
bentuk pasangan koordinat x dan y atau (x,y).
Himpunan peneyelesaian dari sistem
persamaan linear dapat dicari dengan beberapa metode yaitu, metode grafik,
metode substitusi, metode eliminasi dan metode gabungan.
1.
Metode
Grafik
Salah satu metode penyelesaian sistem
persamaan adalah dengan metode grafik yaitu membaca (menaksir) titik potong
kedua persamaan garis pada bidang kartesius. Pada
metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel
adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis-garisnya tidak
berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah
himpunan kosong.
Contoh 3:
Selesaikan
sistem persamaan x + 3y = 5 dan 2x – y = 3 dengan metode grafik.
Jawab:
Kita tentukan titik potong masing-masing
garis tersebut dengan sumbu x dan sumbu y.
Menggunakan tabel:
|
x + 3y = 5
|
|
2x – y = 3
|
||||
|
X
|
0
|
5
|
|
x
|
0
|
|
|
Y
|
|
0
|
|
y
|
- 3
|
0
|
|
(x,y)
|
( 0,1
|
(5,0)
|
|
( x,y )
|
(0,-3)
|
(1
|
|
|
Dari gambar di atas terlihat bahwa titik (2,1) merupakan
ntitik potong kedua garis tersebut.
Untuk meyakinkan bahwa pasangan bilangan berurutan tersebut merupakan akar
penyelesaian sistem persamaan , kita ndapat mengecek dengan cara
mensubstitusikan titik (2,1) pada kedua
persamaan.
a.
x + y = 5 b. 2x – y= 3
2 + 3(1)=5 2(2) – 1 = 3
2 + 3 = 5 4 – 1 = 3
Jadi jelas
bahwa penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(2,1)}
Contoh
4:
Tentukan penyelesaiansistem persamaan
2x –y = 4 dan x = 3 untuk x,y
R.
Jawab:
Untuk
persamaan 2x – y =4
Titik
potong pada sumbu x, maka sumbu y = 0, sehingga:
2x - 0 =
4
⇔ 2x =
4
⇔ x
= 2
koordinat titik potong pada sumbu y, maka x = 0:
2(0) - y = 4
⇔ -
y =
4
⇔ y
= - 4
Koordinat titik potong pada sumbu y adalah (0, -4). atau
dengan menggunakan table:
|
X
|
2
|
0
|
|
Y
|
0
|
-4
|
|
(x,y)
|
(2, 0)
|
(0, -4)
|
Untuk persamaan x = 3, dapat langsung dibuat grafiknya, yaitu garis yang sejajar dengan sumbu y dan titik (3,0).
|
|
Karena koordinat titik potongnya
adalah (3,2) maka penyelesaiannya adalah x
= 3 dan y = 2.
Pada kedua contoh di atas dan
pembahasan sebelumnya diperoleh bahwa penyelesaian dari SPLDV yang diberikan
hanya memiliki tepat satu pasangan. Mengingat kedudukan dua garis dalam satu
bidang mempunyai 3 kemungkinan, yaitu sejajar, berpotongan dan berimpit, maka:
·
Grafik
penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang sejajar tidak mempunyai
penyelesaian.
·
Grafik
penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang saling berpotongan di satu titik
mempunyai satu penyelesaian.
·
Grafik
penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang berimpit mempunyai tak hingga penyelesaian.
2.
Metode
Substitusi
Jika penyelesaian sistem persamaan
bilangan berurutan yang relative besar atau tidak memuat bilangan bulat, maka
metode grafik tidak dapat digunakan dengan baik. Salah satu metode yang dapat
digunakan adalah metode substitusi.
Substitusi berarti mengganti. Jadi,
untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linear dengan metode substitusi, kita perlu mengganti salah satu variabel
dengan variabel lain.
Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem npersamaan
x
+ 2y = 8
3x – 5y = 90
Jawab:
Persamaan x + 2y = 8 dapat dinyatakan dalam bentuk x = 8 –
2y, kemudian pada persamaan 3x – 5y = 90, gantilah x dengan 8 – 2y sehingga
diperoleh:
3x – 5y = 90
⇔ 3(8
– 2y) – 5y = 90
⇔ 24
– 6y – 5y = 90
⇔ 24
– 11y = 90
⇔ -11y
= 90
– 24
⇔ -11y = 66
⇔ y = - 6
untuk menentukan nilai x,
gantilah y dengan – 6 pada persamaan
x + 2y = 8 atau 3x – 5y = 90, sehingga
diperoleh
x + 2y = 8 atau 3x – 5y = 90
x
+ 2(-6) = 8 3x
– 5(-6) = 90
x
– 12 =
8 3x
+ 30 =
90
x = 8 +
12 3x
=
90 - 30
x = 20 x
=
60/3
x
=
20
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan diatas adalah {(20, -6)}
Contoh 6 :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem
persamaan 7x – 4y =2 dan 3x + 2y=12.
Jawab:
Persamaan 3x + 2y = 12 dapat dinyatakan dalam bentuk y
= 6 -
.
Kemudian, substitusikan y ke
persamaan 7x – 4y = 2 diperoleh :
7x – 4y = 2
⇔ 7x
– 4(6 -
= 2
⇔ 7x
– 24 – 6x = 2
⇔ 7x
+ 6x =
2 + 24
⇔ 13x
= 26
⇔ x = 26/13
⇔ x = 2
Selanjutnya,
substitusikan x = 2 ke salah satu persamaan, maka di peroleh:
7x – 4y = 2
7(2) – 4y = 2
14 - 2 = 4y
12 = 4y
12/4 = y
3 = y atau y
= 3
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah {(2,3)}
3.
Metode
Eliminasi
Metode eliminasi berarti
penghilangan/pelenyapan salah satu variabel atau peubah dari sistem persamaan
linear dua variabel. Pada metode ini, angka dari koefisien variabel yang akan
dihilangkan harus sama atau dibuat agar sama. Jika variabelnya x dan y, maka untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya.
Jika kokefisien dari salah satu
variabel sudah sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu
variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.
Contoh 7:
Tentukan himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan 3x – 4y = -11 dan
4x + 5y =6
Jawab:
Langkah I (eliminasi variabel y untuk memperoleh nilai x)
3x – 4y
= –11 (x5) ⇒ 15x
– 20y = – 55
4x + 5y = 6
(x4) ⇒ 16x
+ 20y = 24
+
31x = –31
x = –1
Langkah II (eliminasi variabel x untuk memperoleh nilai y)
3x – 4y
= –11 (x4) ⇒ 12x
– 16y = – 44
4x + 5y = 6
(x3) ⇒ 12x
+ 15y = 18
_
–31y = –62
y = 2
Jadi, himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan di atas adalah {(–1, 2)}
4.
Metode
Gabungan
Metode ini biasanya lebih banyak
dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan
bsistempersamaan linear. Dengan mengeliminasi salah satu variabel, kemudian
nilai salah satu variabel yang diperoleh disubstitusikan ke dalam salah satu
persamaan itu sehingga dapat diperoleh nilai variabel yang lain.
Contoh 8:
Tentukan himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan 2x – 5y=2 dan x+5y= 6, jika x,y
R.
Langkah I (metode eliminasi)
2x – 5y
= 2 (x -1) ⇒ -2x
+ 5y =
-2 karena variabel y sudah
sama
x + 5y
= 6 (x 1) ⇒ x + 5y
=
6 _ maka dapat langsung dikerjakan
-3x = – 8 2x – 5y
= 2
x = 8/3 x + 5y
= 6 +
x = 2
3x = 8
x =
Langkah II (metode substitusi)
Substitusikan
nilai x ke salah satu persamaan 2x – 5y
= 2 atau x + 5y = 6.
2x – 5y = 2
2(8/3) –5y = 2
16/3 – 5y = 2
–5y = 2 –
–5y = –
y = –
(–
)
y =
jadi, himpunan penyelesaian dari
persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 adalah {(2
,
)}
D. Sistem Persamaan Linear Dua Variable Dengan Pecahan
Dalam sistem persamaan, jika pada
salah satu atau kedua persamaan terdapat pecahan, maka persamaan yang mengandung
pecahan itu harus dijadikan persamaan lain yang ekuivalen tetapi tidak lagi
mengandung pecahan. Pengubahan itu dapat dilakukan dengan cara mengalikan
setiap persamaan itu dengan KPK dari bilangan penyebut masing-masing pecahan.
Setelah persamaan-persamaannya tidak lagi memuat pecahan, maka untuk
menyelesaikanya dapat dikerjakan dengan menggunakan salah satu metode yang
telah dipelajari
Contoh 9:
Tentukan
penyelesaian sistem persamaan 3x + 2y = 17 dan
x –
y = –1!
Jawab:
Langkah I
Persamaan
x –
y = –1
diubah sehingga tidak jlagi mengandung pecahan
⇔ 6(
x –
y) = (–1)6
⇔ 2x – 3y
= – 6
Langkah II
(kerjakan dengan salah satu metode yang telah dipelajari)
Misalnya menggunakan metode gabungan:
3x + 2y
= 17 (x2) ⇒ 6x + 4y
= 34
2x – 3y = – 6
(x3) ⇒ 6x
– 9y = – 18
_
13y = 52
y = 52/13 = 4 jadi y = 4
3x
+ 2y =
17
3x
+ 2(4) = 17
3x + 8 = 17
3x = 17 – 8
3x = 9
x = 3
jadi,
penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 4.
E. Penerapan/Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variable dalam Kehidupan
Sehari-Hari
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak
permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menerapkan penyelesaian sistem
persamaan linear dua variabel. Masalah-masalah ini biasanya berbertuk soal
cerita. Pada bagian ini akan membahas bagaimana cara untuk menyelesaikan
masalah seperti ini.
Contoh 10:
Harga dua baju dan tiga kaos adalah Rp 85.000, sedangkan
harga tiga baju dan satu kaos jenis yang sama adalah Rp 75.000. Tentukan harga
sebuah baju dan harga sebuah kaos!
Jawab:
Terlebih dahulu kita
terjemahkan permasalahannya ke dalam kalimat matematika sehingga diperoleh
formulasi untuk mendapatkan pemecahan (solusi) atas permasalahan yang terjadi.
Pada soal cerita ini
ada dua besaran yang belum diketahui, yaitu harga sebuah baju dan harga sebuah
kaos. Dimisalkan:
Harga
sebuah baju = x rupiah, dan
Harga
sebuah kaos = y rupiah, maka
Harga
2 baju dan 3 kaos: 2x + 3y = 85.000
Harga
3 baju dan 1 kaos: 3x + y = 75.000.
Sehingga, didapat sistem persamaannya
adalah 2x + 3y = 85.000 dan
3x
+ y = 75.000.
kemudian kerjakan dengan menggunakan
salah satu metode penyelesaian., maka:
2x + 3y
= 85.000 (x1) ⇒ 2x + 3y
= 85.000
3x + y
= 75.000 (x3) ⇒ 9x + 3y
= 225.000 _
– 7x =
–140.000
x = 20.000
2x
+ 3y =
85.000
2(20.000) + 3 y =
85.000
40.000 + 3 y = 85.000
3y = 85.000 – 40.000
3x = 45.000
x = 15.000
jadi harga
sebuah baju = x rupiah = Rp 20.000
dan
harga sebuah
kaos = y rupiah = Rp 15.000
Contoh 11:
Perbandingan umur ayah dan ibu adalah 4:3. Enam tahun
yang lalu, perbandingan umur mereka adalah 7:5. Berapakah perbandingan umur
mereka enam tahun yang akan datang ?
Jawab:
Misalkan umur
ayah sekarang adalh x tahun dan umur
ibu sekarang adalah y tahun, maka
diperoleh sistem persamaan x : y = 4 : 3 atau y =
x dan (x – 6) : (y – 6) = 7 : 5 atau 5x – 7y
= –12.
y =
x di substitusikan ke persamaan
5x – 7y = –12. Diperoleh:
5x – 7y = –12
x –
x = –12
5x – 7(
x) = –12 –
x = – 12
5x –
x = –12 x =
48
Substitusikan x =
48 ke salah satu persamaan yang diperoleh y
= 36 sehingga dapat diperoleh perbandingan umur ayah dan ibu pada 6 tahun
mendatang adalah (x + 6) : (y + 6) =
54 : 42
=
9 : 7
F. Sistem Persamaan Nonlinear
1.
Sistem
persamaan bentuk pecahan sederhana
Contoh 12:
Dengan memisalkan
= a
dan
= b.
diperoleh sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel a dan
b yaitu, 4a + 3b = 1 dan 5a – 2b = –16
4a + 3b = 1 (x2) ⇒ 8a
+ 6b = 2
5a – 2b = –16 (x3) ⇒ 15a
– 6b = – 48 +
23a
= –46
a
= –2
|
Gantikan nilai a
= -2 dab b= 3 ke pemisahan
mula-mula dan diperoleh
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas
adalah {(-
|
4(-2) + 3b = 1
-8 + 3b = 1
3b = 1 + 8
3b = 9
b = 3
2.
Sistem
persamaan linear dan kuadrat
Sistem persamaan linear dan kuadrat terdiri dari fungsi
linear dan fungsi kuadrat dengan dua peubah yang mempunyai bentuk umum
y = ax
+ b
y = px2 + qx +
r dengan p
0.
Himpunan
penyelesaian dari sistem linear-kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan
metode substitusi.
Contoh 13:
Tentukan hjimpunan penyelesaian dari
sistem persamaan linear-kuadrat
y = x + 2 dan y = x2
Jawab:
Substitusikan y = x + 2 ke persamaan
y = x2
x2
= X + 2
x2 – x – 2 = 0
(x + 1) ( x – 2) = 0
x1 = -1 atau x2 = 2
substitusikan
x1 dan x2 sehingga diperoleh y1= 1 dan y2 = 4.
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat diatas adalah
{(-1,1),(2,4)}
3.
Sistem
persamaan kuadrat-kuadrat
Sistem sistem persamaan
kuadrat-kuadrat dngan dua peubah terdiri dari dua fungsi kuadrat. Sistem
persamaan kuadrat-kuadrat mempunyai bentuk umum
y = ax2
+ bx + c
y = px2
+ qx + r dengan a
0 dan p
0.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat-kuadrat dapat
ditentukan dengan menggunakan metode dubdtitusi atau eliminasi.
Contoh 14:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat
y = x2
+ 4x + 4
y = 10 - x2
Jawab:
Substitusikan y = 10 – x2 ke
y = x2 + 4x +4, kemudian selesaikan dan
diperoleh:
10 – x2 = x2 +
4 + 4
2x2 + 4x – 6 = 0 (x
)
x2 + 2x – 3 = 0
(x + 3)(x – 1) = 0
x1 = – 3
atau x2 = 1
y1 =1 atau y2 = 9
jadi, himpunan
penyelesaian sistem persamaan kuadrat-kuadrat di atas adalah {(–3,1),(1,9)}.
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, M. Cholik dan Sugijono.
2007.Matematika untuk KelasVIII. Jakarta: Erlangga
Nuharini, Dewi dkk. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk
SMP/MTs kelas VIII. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
Rahaju, E. Budi dkk.2008.Matematika Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII.
Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional
Saleh, N. Taufiq dkk.2005. Fokus Matematika untuk SMP Kelas VIII. Jakarta: PT. Pabelan
Tidak ada komentar:
Posting Komentar