30 Definisi Manajemen Menurut Para Ahli

1. Henry Fayol:

“Manajemen mengandung gagasan lima fungsi utama yaitu, merancang, mengorganisasi, memerintah, mengoordinasi, dan mengendalikan. Sedangkan fungsi manajemen adalah elemen-elemen dasar yang akan selalu ada dan melekat di dalam proses manajemen yang akan dijadikan acuan oleh manajer dalam melaksanakan kegiatan untuk mencapai tujuan.”

2. James A.F. Stoner (2006:Organisasi.org)
“Manajemen adalah suatu proses perencanaan, pengorganisasian, kepemimpinan, dan pengendalian upaya dari anggota organisasi serta penggunaan sumua sumber daya yang ada pada organisasi untuk mencapai tujuan organisasi yang telah ditetapkan sebelumnya”.

3. Mulayu S.P. Hasibuan (2000:2)
“Manajemen adalah ilmu dan seni mengatur proses pemanfaatan sumber daya manusia dan sumber-sumber lainnya secara efektif dan efisien untuk mencapai satu tujuan.”

4. T.Hani Handoko (2000:10)

“Manajemen adalah bekerja dengan orang-orang untuk menentukan, menginterpretasikan, dan mencapai tujuan-tujuan organisasi dengan pelaksanaan fungsi-fungsi perencanaan, pengorganisasian, penyusunan personalia, pengarahan, kepemimpinan dan pengawasan.”

5. Marry Parker Follet

“Manajemen adalah  seni untuk melaksanakan suatu pekerjaan melalui orang lain”

6. Prof. Oie Liang Lee

“Manajemen adalah ilmu dan seni mengkoordinasikan serta mengawasi tenaga manusia dengan bantuan alat-alat untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan”.

7. The Liang Gie, 1982

” Manajemen adalah unsur yang merupakan rangkaian perbuatan menggerakkan karyawan-karyawan dan mengarahkan segenap fasilitas kerja agar tujuan organisasi yang bersangkutan benar-benar tercapai.”

8. George R. Terry, 1994

Manajemen dalam bukunya Principles of Management yaitu "Suatu proses yang membedakan atas perencanaan, pengorganisasian, penggerakan dan pengawasan dengan memanfaatkan baik ilmu maupun seni demmi mencapai tujuan yang telah ditetapkan sebelumnya."

9. Dr. Sp. Siagian dalam buku  “FILSAFAT ADMINISTRASI”

 “Manajemen adalah kemampuan atau keterampilan untuk memperoleh suatu hasil dalam rangka pencapaian tujuan melalui orang lain”

10. Ordway Tead yang disadur oleh Drs. He. Rosyidi dalam buku “ORGANISASI DAN MANAGEMENT“

“Manajemen adalah “Proses dan kegiatan pelaksanaan usaha memimpin dan menunjukan arah penyelenggaraan tugas suatu organisasi di dalam mewujudkan tujuan yang telah ditetapkan.”

11. Renville Siagian

“Manajemen adalah suatu bidang usaha yang bergarak dalam bidang jasa pelayanan dan dikelola oleh para tenaga ahli tyerlatih serta berpengalaman.”

12. Richard L.Daft (2002:8) 

“Manajemen adalah pencapaian sasaran-sasaran organisasi dengan cara yang efektif dan efisien melalui perencanaan pengorganisasian, kepemimpinan dan pengendalian sumberdaya organisasi.”

13. Oxford

“Manajemen ialah the process of dealing with or controlling people or things (proses berurusan dengan atau mengendalikan orang atau benda).”

14. Horold Koontz

“Manajemen adalah usaha untuk mencapai suatu tujuan tertentu melalui kegiatan orang lain.”

15. Lawrence A. Appley

“Manajemen adalah seni pencapaian tujuan yang dilakukan melalui usaha orang lain.”

16. Hilman

“Manajemen adalah fungsi untuk mencapai sesuatu melalui kegiatan orang lain dan mengawasi usaha-usaha individu untuk mencapai tujuan yang sama.”

17. Ricky W. Griffin:

“Manajemen sebagai sebuah proses perencanaan, pengorganisasian, pengkoordinasian, dan pengontrolan sumber daya untuk mencapai sasaran (goals) secara efektif dan efesien. Efektif berarti bahwa tujuan dapat dicapai sesuai dengan perencanaan, sementara efisien berarti bahwa tugas yang ada dilaksanakan secara benar, terorganisir, dan sesuai dengan jadwal.”

18. William H. Newman:

“Manajemen adalah fungsi yang berhubungan dengan memperoleh hasil tertentu melalui orang lain.”

19. Drs. Oey

“Manajemen adalah perencanaan, pengorganisasian, pengarahan, pengkoordinasian dan pengontrolan.”

20. Prof. Eiji Ogawa

“Manajemen adalah Perencanaan, Pengimplementasian dan Pengendalian kegiatan-kegiatan termasuk system pembuatan barang yang dilakukan oleh organisasi usaha dengan terlebih dahulu telah menetapkan sasaran-sasaran untuk kerja yang dapat disempurnakan sesuai dengan kondisi lingkungan yang berubah.”

21. Federick Winslow Taylor

“Manajemen adalah Suatu percobaan yang sungguh-sungguh untuk menghadapi setiap persoalan yang timbul dalam pimpinan perusahaan (dan organisasi lain)atau setiap system kerjasama manusia dengan sikap dan jiwa seorang sarjana dan dengan menggunakan alat-alat perumusan.”

22. Lyndak F. Urwick

“Manajemen adalah Forecasting (meramalkan), Planning Orga-nizing (perencanaan Pengorganisiran), Commandin (memerintahklan), Coordinating (pengkoordinasian) dan Controlling (pengontrolan).”

23.Cyril O’donnel

“Dalam bukunya yang berjudul “Principles of Management” mengemukakan, manajemen adalah berhubungan dengan pencapaian sesuatu tujuan yang dilakukan melalui dan dengan orang-orang lain.”

24. Ensiclopedia of The Social Sciences

“Manajemen diartikan sebagai proses pelaksanaan suatu tujuan tertentu yang diselenggarakan dan diarvasi.”

25. Gordon (1976) dalam Bafadal (2004:39)

“Menyatakan bahwa manajemen merupakan metode yang digunakan administrator untuk melakukan tugas-tugas tertentu atau mencapai tujuan tertentu.”

26. Millet (1954)

“Manajemen adalah proses memimpin dan melancarkan pekerjaan dari orang-orang yang terorgasisir secara formal sebagai kelompok untuk memperoleh tujuan yang diinginkan.”

27. Davis (1951)

“Manajemen adalah fungsi dari setiap kepemimpinan eksecutif dimanapun.”

28. Kimball and Kimball (1951)

“Manajemen terdiri dari semua tugas dan fungsi yang meliputi penyusunan sebuah perusahaan, pembiayaan, penetapan garis-garis besar kebijaksanaa,penyediaan semua peralatan yang diperlukan dan penyusunan kerangka organisasi serta pemilihan para pejabat terasnya.”

29. Peter Drucker

“Dalam buku “The Principles of Management” yang ditulis oleh pencetus teori bisnis Amerika yang meraih penghargaan Presidential Medal of Freedom di tahun 2002 ini, manajemen adalah organ yang memiliki banyak tujuan untuk mengelola bisnis serta mengelola manajer dan juga mengelola pekerja dan bekerja.”

30. Chaster I Bernard :

“Manajemen adalah seni dan ilmu,”

KEPEMIMPINAN PENDIDIKAN

Kepemimpinan adalah keseluruhan aktivitas untuk mempengaruhi serta menggiatkan orang dalam usaha bersama untuk mencapai tujuan (George Terry). Drs. Ngalim Purwanto berpendapat bahwa Kepemimpinan adalah tindakan/perbuatan di antara perseorangan dan kelompok yang menyebabkan baik orang seorang maupun kelompok maju ke arah tujuan-tujuan tertentu.

Kepemimpinan adalah kemampuan seni mempengaruhi tingkah laku manusia dan kemampuan untuk membimbing beberapa orang untuk mengkordinasikan dan mengarahkan dengan maksud dan tujuan tertentu. Untuk dapat menggerakkan beberapa orang pelaksana, seorang pemimpin harus memiliki kelebihan dibandingkan orang yang dipimpinnya misalnya kelebihan dalam menggunakan pikirannya,  rohaniah, dan badaniah. Agar dapat menggunakan kelebihanya tersebut, seorang pemimpin suatu organisasi difasilitasi dengan apa yang disebut dengan tugas dan wewenang.

·      Kepemimpinan Otoriter (Authoritarian Leadership)

Seperti yang kita ketahui, bahwa kekuasaan otoriter gaya kepemimpinan berdasarkan pada kekuasaan yang mutlak dan penuh. Dengan kata lain, sang pemimpin yang dalam kepemimpinan ini disebut juga sebagai diktator, bertindak mengarahkan pikiran, perasaan dan prilaku orang lain kepada suatu tujuan yang telah ditetapkannya. Artinya segala ketentuan dan keputusan berada di tangan si pemimpin. David Krech, Richard S. Crutchfield, Egerton L. Ballachey,menggambarkan mengenai kepemimpinan ini: bahwa dalam suatu kelompok yang sangat kecil, antara pemimpin dan pengikut terjadi kontak pribadi karena komunikasi berlangsung secara interpersonal, namun ketika kelompok menjadi besar, maka hubungan antara pemimpin menjadi semakin jauh dan melalui peringkat peringkat. Organisasi hirarkis pada kelompok otoriter dapat dikaji sebagai konsekwensi dari tujuan si pemimpin untuk senantiasa memelihara posisinya sebagai kekuasaan sentral. Dan menurut David Krech, Richard S. Crutchfield, Egerton L. Ballachey, Suasana seperti ini kondusif untuk frustasi dan agresi serta meningkatnya ketegangan dan konflik intra kelompok. 

·      Kepemimpinan Demokratis (Democratic Leadership)

Yang dimaksud dengan gaya kepemimpinan demokratis adalah gaya atau cara memimpin yang demokratis, dan bukan karena dipilihnya si pemimpin secara demokratis. Gaya yang demokratis seperti ini misalnya saja si pemimpin memberikan kebebasan dan keleluasaan kepada para bawahan dan pengikutnya untuk mengemukakan pendapatnya, saran dan kritikkannya dan selalu berpegang pada nilai-nilai demokrasi pada umumnya.

·      Kepemimpinan Bebas (Laisez Faire Leadership)

Dalam kepemimpinan jenis ini, sang pemimpin biasanya menunjukkan suatu gaya dan prilaku yang pasif dan juga seringkali menghindari dirinya dari tanggung jawab. Dalam prakteknya, Si pemimpin hanya menyerahkan dan menyediakan instrumen dan sumber-sumber yang diperlukan oleh anak buahnya untuk melaksanakan suatu pekerjaan untuk mencapai tujuan yang ditetapkan pimpinan. Pimpinan yang memiliki gaya ini memang berada diantara anak buahnya, akan tetapi ia tidak memberikan motivasi, pengarahan dan petunjuk, dan segala pekerjaan diserahkan kepada anak buahnya.

Menurut Paul Hersey dan Ken. Blanchard, Terdapat 4 gaya kepemimpinan yaitu:

1. Memberitahukan, Menunjukkan, Memimpin, Menetapkan (Telling-Directing)

2. Menjual, Menjelaskan, Memperjelas, Membujuk (Selling-Coaching)

3. Mengikutsertakan, memberi semangat, kerja sama (Participating-Supporting)

4. Mendelegasikan, Pengamatan, Mengawasi, Penyelesaian (Delegating)

Pemimpin pendidikan adalah orang yang memilki kelebihan untuk mempengaruhi, mengajak, mendorong, membimbing, menggerakkan dan mengkoordinasikan staf pendidikan lainnya ke arah peningkatan mutu pendidikan.

Pemimpin Resmi, dimiliki oleh orang yang menduduki posisi dalam struktur pendidikan. Pemimpin tidak resmi, bisa dimilki oleh setiap orang yang memberikan araha kepada perbaikan pendidikan

Pemimpin resmi “ status leader “ merupakan sebutan bagi mereka yang menduduki posisi pimpinan dalam dalam struktur organisasi pendidikan. Misal : kepala sekolah, pengawas atau penilik sekolah, kepala dinas pendidikan dsb, umumnya diangkat dan ditunjuk oleh atasannya. Sedangkan pemimpin tidak resmi “ real leader” adalah sebutan bagi mereka yang mampu mempengaruhi dan mendorong kearah perbaikan pendidikan dan pengajaran, walaupun mereka tidak menduduki posisi pimpinan dalam struktur organisasi pendidikan.

Nawawi ( 1988 ) menyimpulkan bahwa fungsi kepemimpinan pendidikan, yaitu :

a.      Mengembangkan dan menyalurkan kebebasan berpikir dan mengeluarkan pendapat, baik secara perorangan maupun kelompok sebagai usaha mengumpulkan data/bahan dari anggota kelompok dalam menetapkan keputusan yang mampu memenuhi aspirasi dalam kelompoknya.

b.      Mengembangkan suasana kerjasama yang efektif dengan memberikan penghargaan dan pengakuan terhadap kemampuan orang-orang yang dipimpn sehingga timbul kepercayaan pada dirinya sendiri dan kesediaan menghargai oranglain sesuai dengan kemampuan masing-masing.

c.       Mengusahakan dan mendorong terjadinya pertemuan pendapat dengan sikap harga-mengargai, sehingga timbul perasaan ikut terlibat dalam kegiatan kelompok/organisasi dan tumbuh perasaan bertanggung jawab atas tewujudnya pekerjaanmasing-masing sebagai bagian dari usaha pencapaian tujuan.

d.      Membantu menyelesaikan masalah-masalah, baik yang dihadapi secara perorangan maupun kelompok dengan memberikan petunjukpetunjuk untuk mengatasinya, sehingga berkembang kepedulian dan kesediaan untuk memecahkan dengan kemampuan sendiri.

PRINSIP-PRINSIP KEPEMIMPINAN PENDIDIKAN

  1.      Prinsip pelayanan, bahwa kepemimpinan sekolah harus menerapkan unsur-unsur pelayanan dalam kegiatan operasional sekolahnya.

  2.      Prinsip persuasi, pemimpin dalam menjalankan tugasnya harus memperhatikan situasi dan kondisi setempat demi keberhasilan keberhasilan kepemimpinannya yang sedang dan yang akan dilaksanakan.

  3.      Prinsip bimbingan, pemimpin pendidikan hendaknya membimbing peserta didik kearah tujuan yang ingin dicapai sesuai dengan perkembangan peserta didik yang ada dilembaganya.

  4.      Prinsip efisiensi, mengarah pada cara hidup yang ekonomis dengan pengeluaran sedikit untuk memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya.

  5.      Prinsip berkesinambungan, agar pemimpin pendidikan ini diterapkan tidak hanya pada satu waktu saja, tetapi perlu secara terus menerus.

SYARAT-SYARAT KEPEMIMPINAN PENDIDIKAN

a.      Syarat-syarat formal, Seseorang yang menjabat kepala sekolah dilingkungan Departemen Pendidikan Nasional diruskan dalam Kepmen Diknas RI No : 162/U/2003 tentang pedoman penugasan guru sebagai Kepala Sekolah.

b.      Syarat-syarat fundamental, Nilai-nilai moral Pancasila menjadi syarat fundamental yang harus dijadikan acuan, dihayati dan diamalkan oleh para calon pemimpin pendidikan di Indonesia.

c.       Syarat-syarat praktis, Memiliki kelebihan dalam pengetahuan dan kemampuan dan memiliki kelebihan dalam kepribadian

d.      Syarat –syarat lainnya

·         Memiliki kecerdasan atau intelegensi yang cukup baik

·         Percaya diri sendiri dan bersifat membership

·         Cakap bergaul dan ramah tamah

·         Kreatif, inisiatif dan memiliki hasrat untuk maju dan berkembang

·         Organisatoris yang berpengaruh dan berwibawa

·         Memiliki keahlian atau ketrampilan dalam bidangnya

·         Suka menolong, memberi petunjuk dan menghukum secara bijaksana

·         Memiliki keseimbangan emosional dan bersifat sabar

·         Memiliki semangat pengabdian dan kesetiaan yang tinggi

·         Berani mengambil keputusan dan tanggung jawab

·         Jjur, rendah hati, sederhana dan dapat dipercaya

·         Bijaksana dan selalu berlaku adil

·         Disiplin

·         Berpengetaguan dan berpandangan luas

·         Sehat jasmani dan rohani

MODEL-MODEL KEPEMIMPINAN DALAM PENDIDIKAN

1.      Kepemimpinan Visioner

Visi menggambarkan masa depan yang ideal, barangkali menyiratkan ingatan budaya yang sekarang dan aktivitas, atau barangkali menyiratkan perubahan. Terbentuknya visi dipengaruhi oleh pengalaman hidup, pendidikan, pengalaman professional, interaksi da komunikasi, penemuan keilmuan serta kegiatan intelektual yang membentuk pola piker tertentu (Gaffar, 1994 : 56).

Kepemimpinan yang relevan dengan tuntutan “school based management”. Kepemimpinan ini yang difokuskan pada rekayasa masa depan yang penuh tantangan, menjadi agen perubahan (agen of change) yang unggul dan menjadi penentu arah organisasi yang tahu prioritas, menjadi pelatih yang provisional dan menjadi pembimbing anggota lainnya.

Visioner Leadership didasarkan pada tuntutan perubahan zaman yang menuntut dikembangkannya secara intensif peran pendidikan dalam menciptaka sumber daya menusia yang handal.

2.      Kepemimpinan transformasional

Kepemimpinan transformasional dibangun dari dua kata :

Kepemimpinan (leadership), setiap tindakan yang dilakukan oleh eseorang untuk mengkoordinasikan, mengarahkan, dan mempengaruhi orang lain untuk mencapai tujuan. Transformasional (transformational), mengubah sesuatu menjadi bentuk lain yang berbeda.

Kepemimpinan Transformasional diukur dalam hubungannya dengan efek pemimpin tersebut terhadap para pengikutnya. Pemimpin dengan kepemimpinan transformasional adalah kepemimpinan yang memilki visi ke depan dan mampu mengidentifikasikan perubahan lingkungan serta mampu mentransformasikan perubahan tersebut ke dalam organisasi.

Sumber :

http://amcreative.wordpress.com/kepemimpinan-pendidikan/

http://yatik-kepemimpinandalampendidikan.blogspot.com/

http://imronfauzi.wordpress.com/category/kepemimpinan-pendidikan/

http://mpi-online.blogspot.com/2013/03/makalah-kepemimpinan-pendidikan.html

SPLDV

 A.   Persamaan Linear Satu Variabel, Persamaan Linear Dua Variabel Dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1.     Persamaan Linear Satu Variabel

1)    2x + 5 = 3

2)    1 – 2y = 6

3)    z + 1 = 2z

Variabel pada persamaan (1) adalah x, pada persamaan (2) adalah y, dan pada persamaan (3) adalah z. Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear satu variable. karena masing-masing persamaan memiliki satu variabel dan berpangkat satu. Variabel x, y, dan z adalah variabel pada himpunan tertentu yang ditentukan dari masing-masing persamaan tersebut.

Persamaan yang memiliki satu variabel dan peubahnya berpangkat satu disebut persamaan linear dengan satu variabel.

Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax + b = c dengan a, b, dan c adalah konstanta, a 0, dan x variabel pada suatu himpunan.

2.     Persamaan Linear Dua Variabel

1)    x + 5 = y

2)    2a – b = 1

3)    3p + 9q = 4

Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel. Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada persamaan 2a – b = 1 adalah a dan b. Adapun  variabel pada persamaan 3p + 9q = 4 adalah p dan q. Persamaan yang memiliki dua variabel dan peubahnya berpangkat satu disebut persamaan linear dua variabel.

Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c ∈ R  a, b ≠ 0,  c adalah konstanta dan x, y suatu variabel.

3.     Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

x + y = 5…………………………………………………. (1)

2x – y = 11 ………………………… …………………..(2)

Persamaan (1) dan (2) merupakan persamaan linear dengan dua variabel yang saling terkait. Beberapa persamaan yang saling terkait disebut sistem persamaan linear. Karena kedua persamaan di atas saling terkait, memiliki dua variabel dan penyelesaian yang sama (x=3 dan y=2) maka disebut sistem persamaan linear dua variabel.

Sistem persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk berikut

a₁x  + b₁y = c₁               

a₂x + b₂y  = c₂

dengan a, b 0, x dan y suatu variabel, a₁ dan a₂ adalah koefisien dari variabel x, b₁ dan b₂ adalah koefisien dari variabel y, dan c₁,c₂ adalah konstanta.

B.   Penyelesaian atau Akar dan Bukan Akar Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdapat pengganti-pengganti dari variabel sehingga kedua persamaan menjadi kalimat benar. Pengganti –pengganti variabel yang demnikian disebut penyelesaian atau akar dari sistem persamaan atau bukan akar dari sistem persamaan tersebut.

Contoh 1:

Diketahui sistem persamaan x + 2y = 10 dan 2x – y = 5.

Tunjukkan bahwa x = 4 dan y = 3 merupakan akar atau penyelesaiannya!

Jawab:

Nilai x = 4 dan y = 3 disubstitusikkan pada persamaan x + 2y =10 dan 2x–y =5, diperoleh :

         x + 2y  = 10                                        2x – y = 5

        4 + 2(3)        = 10                                      2(4) – 3 = 5

           4 + 6 = 10                                         8 – 3 = 5

               10  = 10  (benar)                                  5 = 5 (benar)

Karena selalu diperoleh kalimat benar, maka  x = 4 dan y = 3 merupakan akar atau penyelesaian dari persamaan x + 2y =10 dan 2x – y = 5.

Contoh 2:

Apakah x = 6 dan y = 2  merupakan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 10  dan 2x – y = 5

Nilai x = 6 dan y = 2  disubstitusikan pada persamaan x + 2y = 10  dan 2x – y = 5, diperoleh:

         x + 2y  = 10                                       2x – y = 5

        6 + 2(2)        = 10                                      2(6) – 2 = 5

           6 + 4 = 10                                       12 – 2 = 5

               10  = 10  (benar)                                10 = 5 (salah)

Pada persamaan x + 2y = 10 dan 2x – y = 5, x = 6 dan  y = 2 disubstitusikan pada kedua persamaan tersebut, ternyata mengakibatkian salah satu persamaan menjadi kalimat yang salah. Oleh karena itu, x=6 dan  y=2 bukanlah penyelesaian atau akar dari persamaan x + 2y = 10  dan 2x – y = 5.

C.   Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dapat ditentukandengan mencari pasangan bilangan yang memenuhi setiap persamaan linearnya dan bila pasangan bilangan itu disubstitusikan ke persamaannya akan menghasilkan pernyataan yang benar.

Penyelesaian pada sistem persamaan linear ax + by = c dan px + qy = r adalah menentukan pengganti untuk x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh suatu bentuk pasangan koordinat x dan y atau (x,y).

Himpunan peneyelesaian dari sistem persamaan linear dapat dicari dengan beberapa metode yaitu, metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi dan metode gabungan.

1.       Metode Grafik

Salah satu metode penyelesaian sistem persamaan adalah dengan metode grafik yaitu membaca (menaksir) titik potong kedua persamaan garis pada bidang kartesius. Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

Contoh 3:

Selesaikan sistem persamaan x + 3y = 5 dan 2x – y = 3 dengan metode grafik.

Jawab:

Kita tentukan titik potong masing-masing garis tersebut dengan sumbu x dan sumbu y.

Menggunakan tabel:

x + 3y = 5				2x – y = 3
X	0	5		x	0
Y		0		y	- 3	0
(x,y)	( 0,1  )	(5,0)		( x,y )	(0,-3)	(1  , 0 )

Dari gambar di atas terlihat bahwa titik (2,1) merupakan ntitik potong kedua  garis tersebut. Untuk meyakinkan bahwa pasangan bilangan berurutan tersebut merupakan akar penyelesaian sistem persamaan , kita ndapat mengecek dengan cara mensubstitusikan  titik (2,1) pada kedua persamaan.

a.     x + y = 5               b.          2x – y= 3

2 + 3(1)=5                2(2) – 1 = 3

2 + 3 = 5                  4 – 1 = 3

Jadi jelas bahwa penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(2,1)}

Contoh 4:

Tentukan penyelesaiansistem persamaan 2x –y = 4 dan x = 3 untuk x,y  R.

Jawab:

Untuk persamaan 2x – y =4

Titik potong pada sumbu x, maka sumbu y = 0, sehingga:

         2x - 0 = 4

⇔         2x  = 4

⇔           x = 2

koordinat titik potong pada sumbu y, maka x = 0:

      2(0) - y  = 4

⇔         - y  = 4

⇔           y = - 4

Koordinat titik potong pada sumbu y adalah (0, -4). atau dengan menggunakan table:

X	2	0
Y	0	-4
(x,y)	(2, 0)	(0, -4)

Untuk persamaan x = 3, dapat langsung dibuat grafiknya, yaitu garis yang sejajar dengan sumbu y dan titik (3,0).

Grafik sistem persamaan tersebut ditunjukan pada gambar di bawah ini

Karena koordinat titik potongnya adalah (3,2) maka penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 2.

Pada kedua contoh di atas dan pembahasan sebelumnya diperoleh bahwa penyelesaian dari SPLDV yang diberikan hanya memiliki tepat satu pasangan. Mengingat kedudukan dua garis dalam satu bidang mempunyai 3 kemungkinan, yaitu sejajar, berpotongan dan berimpit, maka:

·        Grafik penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang sejajar tidak mempunyai penyelesaian.

·        Grafik penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang saling berpotongan di satu titik mempunyai satu penyelesaian.

·        Grafik penyelesaian suatu SPLDV berupa dua garis yang berimpit mempunyai tak hingga penyelesaian.

2.       Metode Substitusi

Jika penyelesaian sistem persamaan bilangan berurutan yang relative besar atau tidak memuat bilangan bulat, maka metode grafik tidak dapat digunakan dengan baik. Salah satu metode yang dapat digunakan  adalah metode substitusi.

Substitusi berarti mengganti. Jadi, untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode substitusi, kita perlu mengganti salah satu variabel dengan variabel lain.

Contoh 5:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem npersamaan

                             x + 2y = 8

                           3x – 5y = 90

Jawab:

Persamaan x + 2y = 8 dapat dinyatakan dalam bentuk x = 8 – 2y, kemudian pada persamaan 3x – 5y = 90, gantilah x dengan 8 – 2y sehingga diperoleh:

                 3x – 5y         =  90

⇔    3(8 – 2y) – 5y        =  90

⇔    24 – 6y – 5y   =  90

⇔           24 – 11y         =  90

⇔                 -11y =  90 – 24

⇔                 -11y  =  66

⇔                     y    =  - 6

untuk menentukan nilai x, gantilah y dengan – 6 pada persamaan x + 2y = 8 atau 3x – 5y = 90,  sehingga diperoleh

           x + 2y =  8                  atau                3x – 5y =  90

        x + 2(-6)                      =  8                                 3x – 5(-6)       = 90

           x – 12  =  8                                         3x + 30 =  90

                 x    =  8 + 12                                        3x =  90 - 30

       x    =  20                                                x =  60/3

                                                                               x =  20

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan diatas adalah {(20, -6)}

Contoh 6 :

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 7x – 4y =2 dan 3x + 2y=12.

Jawab:

Persamaan 3x + 2y = 12 dapat dinyatakan dalam bentuk y = 6 - . Kemudian, substitusikan y ke persamaan 7x – 4y = 2 diperoleh :

                 7x – 4y         =  2

⇔    7x – 4(6 - =  2

⇔    7x – 24 – 6x   =  2

⇔           7x + 6x   =  2 + 24

⇔                 13x   =  26

⇔                     x   =  26/13

⇔                     x    =  2

Selanjutnya, substitusikan x = 2 ke salah satu persamaan, maka di peroleh:

                 7x – 4y         =  2

               7(2) – 4y =  2

                   14 - 2 =  4y

                         12 =  4y

                       12/4 =  y

                          3 =  y  atau   y = 3

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah {(2,3)}

3.       Metode Eliminasi

Metode eliminasi berarti penghilangan/pelenyapan salah satu variabel atau peubah dari sistem persamaan linear dua variabel. Pada metode ini, angka dari koefisien variabel yang akan dihilangkan harus sama atau dibuat agar sama. Jika variabelnya x dan y, maka untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya.

Jika kokefisien dari salah satu variabel sudah sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.

Contoh 7:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3x – 4y = -11 dan

4x + 5y =6

Jawab:

Langkah I (eliminasi variabel y untuk memperoleh nilai x)

3x – 4y = –11  (x5)          ⇒     15x – 20y = – 55

4x + 5y = 6      (x4)          ⇒     16x + 20y =    24  ₊

                                        31x          =  –31

                                           x          =  –1

Langkah II (eliminasi variabel x untuk memperoleh nilai y)

3x – 4y = –11  (x4)          ⇒     12x – 16y = – 44

4x + 5y = 6      (x3)          ⇒     12x + 15y =    18 _

                                             –31y  =  –62

                                                   y  =  2

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(–1, 2)}

4.       Metode Gabungan

Metode ini biasanya lebih banyak dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan bsistempersamaan linear. Dengan mengeliminasi salah satu variabel, kemudian nilai salah satu variabel yang diperoleh disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan itu sehingga dapat diperoleh nilai variabel yang lain.

Contoh 8:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y=2 dan x+5y= 6, jika x,y  R.

Langkah I (metode eliminasi)

2x – 5y = 2  (x -1) ⇒   -2x + 5y      = -2                karena variabel y sudah sama

  x + 5y = 6  (x 1)   ⇒      x + 5y      =  6   _           maka dapat langsung dikerjakan

                                      -3x       =  – 8                  2x – 5y = 2

                                        x        =  8/3                    x + 5y = 6   ₊

                                        x        =  2                             3x      =  8

                                                                              x       =  

Langkah II (metode substitusi)

Substitusikan nilai x ke salah satu persamaan 2x – 5y = 2 atau x + 5y = 6.

                 2x – 5y  = 2

             2(8/3) –5y = 2

               16/3 – 5y = 2

                       –5y  = 2 – 

                       ­–5y  = –

                          y = –  (–  )

                          y = 

jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 adalah {(2 , )}

D.   Sistem Persamaan Linear Dua Variable Dengan Pecahan

Dalam sistem persamaan, jika pada salah satu atau kedua persamaan terdapat pecahan, maka persamaan yang mengandung pecahan itu harus dijadikan persamaan lain yang ekuivalen tetapi tidak lagi mengandung pecahan. Pengubahan itu dapat dilakukan dengan cara mengalikan setiap persamaan itu dengan KPK dari bilangan penyebut masing-masing pecahan. Setelah persamaan-persamaannya tidak lagi memuat pecahan, maka untuk menyelesaikanya dapat dikerjakan dengan menggunakan salah satu metode yang telah dipelajari

Contoh 9:

Tentukan penyelesaian sistem persamaan 3x + 2y = 17 dan x – y = –1!

Jawab:

Langkah I

Persamaan   x – y = –1 diubah sehingga tidak jlagi mengandung pecahan

           x – y   = –1       (dikalikan dengan 6 yaitu KPK dari 3dan 2)

⇔    6( x – y)  = (–1)6

⇔       2x – 3y = – 6

Langkah II (kerjakan dengan salah satu metode yang telah dipelajari)

Misalnya menggunakan metode gabungan:

3x + 2y = 17    (x2)          ⇒     6x  + 4y =   34

2x – 3y = – 6   (x3) ⇒      6x  – 9y = – 18 _

                                             13y  =  52

                                                 y  =  52/13 = 4              jadi y = 4

           3x + 2y  = 17

         3x + 2(4)     = 17

             3x + 8  = 17

                   3x  = 17 – 8

                   3x = 9

                     x  = 3

jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y  = 4.

E.   Penerapan/Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variable dalam Kehidupan Sehari-Hari

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menerapkan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Masalah-masalah ini biasanya berbertuk soal cerita. Pada bagian ini akan membahas bagaimana cara untuk menyelesaikan masalah seperti ini.

Contoh 10:

Harga dua baju dan tiga kaos adalah Rp 85.000, sedangkan harga tiga baju dan satu kaos jenis yang sama adalah Rp 75.000. Tentukan harga sebuah baju dan harga sebuah kaos!

Jawab:

Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahannya ke dalam kalimat matematika sehingga diperoleh formulasi untuk mendapatkan pemecahan (solusi) atas permasalahan yang terjadi.

Pada soal cerita ini ada dua besaran yang belum diketahui, yaitu harga sebuah baju dan harga sebuah kaos. Dimisalkan:

          Harga sebuah baju = x rupiah, dan

          Harga sebuah kaos = y rupiah, maka

          Harga 2 baju dan 3 kaos: 2x + 3y = 85.000

          Harga 3 baju dan 1 kaos: 3x +  y  = 75.000.

Sehingga, didapat sistem persamaannya adalah 2x + 3y = 85.000 dan

3x + y = 75.000.

kemudian kerjakan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian., maka:

2x + 3y = 85.000 (x1)      ⇒     2x + 3y = 85.000

3x +  y = 75.000 (x3)      ⇒     9x + 3y = 225.000  _­­_

                                                 – 7x     =  –140.000

                                                       x    =  20.000

           2x + 3y  = 85.000

2(20.000) + 3 y = 85.000

    40.000 + 3 y = 85.000

                   3y  = 85.000 – 40.000

                   3x = 45.000

                     x  = 15.000

jadi harga sebuah baju = x rupiah = Rp 20.000 dan

harga sebuah kaos = y rupiah = Rp 15.000

Contoh 11:

Perbandingan umur ayah dan ibu adalah 4:3. Enam tahun yang lalu, perbandingan umur mereka adalah 7:5. Berapakah perbandingan umur mereka enam tahun yang akan datang ?

Jawab:

Misalkan umur ayah sekarang adalh x tahun dan umur ibu sekarang adalah y tahun, maka diperoleh sistem persamaan x : y = 4 : 3 atau y = x dan (x – 6) : (y – 6) = 7 : 5 atau 5x – 7y = –12.

y = x di substitusikan ke persamaan 5x – 7y = –12. Diperoleh:

    5x – 7y = –12                           x – x = –12

5x – 7( x) = –12                                   – x = – 12

      5x –  x = –12                                   x  = 48

Substitusikan x  = 48 ke salah satu persamaan yang diperoleh y = 36 sehingga dapat diperoleh perbandingan umur ayah dan ibu pada 6 tahun mendatang adalah (x + 6) : (y + 6)      = 54 : 42

                                  =  9  : 7

F.    Sistem Persamaan Nonlinear

1.     Sistem persamaan bentuk pecahan sederhana

Contoh 12:

 +  = 1 dan   -  = - 16

Dengan memisalkan  = a dan  = b. diperoleh sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel a dan b yaitu, 4a + 3b ­= 1 dan 5a – 2b = –16

4a + 3b ­= 1     (x2)         ⇒     8a   + 6b ­= 2  

5a – 2b = –16 (x3)          ⇒     15a – 6b = – 48 _­­+

                                        23a       =  –46

                                           a        =  –2

Gantikan nilai a = -2 dab b= 3 ke pemisahan mula-mula dan diperoleh  = -2 ⇔ x = -  dan  = 3 ⇔ y = . Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah {(- ,  )}

4a + 3b ­= 1

4(-2) + 3b ­= 1

-8 + 3b = 1

3b = 1 + 8

3b = 9

b = 3

2.     Sistem persamaan linear dan kuadrat

Sistem persamaan linear dan kuadrat terdiri dari fungsi linear dan fungsi kuadrat dengan dua peubah yang mempunyai bentuk umum

            y  = ax + b

            y  = px­­² + qx + r            dengan p  0.

Himpunan penyelesaian dari sistem linear-kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan metode substitusi.

Contoh 13:

Tentukan hjimpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat

y = x + 2 dan y = x²

Jawab:

Substitusikan y = x + 2 ke persamaan y = x²

x² = X + 2

x² – x – 2 = 0

(x + 1) ( x – 2) = 0

x₁ = -1 atau x₂ = 2

substitusikan x₁ dan x₂ sehingga diperoleh y₁= 1 dan y₂ = 4. Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat diatas adalah {(-1,1),(2,4)}

3.     Sistem persamaan kuadrat-kuadrat

Sistem sistem persamaan kuadrat-kuadrat dngan dua peubah terdiri dari dua fungsi kuadrat. Sistem persamaan kuadrat-kuadrat mempunyai bentuk umum

y  = ax­­² + bx + c

y  = px­­² + qx + r               dengan a  0 dan p  0.

Himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat-kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan metode dubdtitusi atau eliminasi.

Contoh 14:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat

y  = x­­² + 4x + 4

y  = 10 - x­­²

Jawab:

Substitusikan y = 10 – x² ke y = x² + 4x +4, kemudian selesaikan dan diperoleh:

10 – x² = x² + 4 + 4

2x² + 4x – 6 = 0 (x  )

x² + 2x – 3 = 0

(x + 3)(x – 1) = 0

x₁ = – 3 atau x₂ = 1

y₁ =1 atau y₂ = 9

jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat-kuadrat di atas adalah {(–3,1),(1,9)}.

 

DAFTAR PUSTAKA

Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2007.Matematika untuk KelasVIII. Jakarta: Erlangga

Nuharini, Dewi dkk. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk SMP/MTs kelas VIII. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

Rahaju, E. Budi dkk.2008.Matematika Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional

Saleh, N. Taufiq dkk.2005. Fokus Matematika untuk SMP Kelas VIII.  Jakarta: PT. Pabelan